Posteado por: jonhdzabaitua | 26 octubre, 2017

Proyecto de matemáticas para 2º ESO. Triángulos semejantes

Vamos a trabajar cuatro conceptos :

  1. Los triángulos semejantes
  2. La teoría de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo. la altura al cuadrado es igual al producto de m y n. (h2 = m·n)
  3. El cálculo de los troncos de cono y de pirámide
  4. El cálculo de alturas de edificios.

El alumnado escribirá una memoria recogiendo en su cuaderno las siguientes fases, teniendo en cuenta que el profesor lo evaluará para la nota del trimestre. Pueden investigar en el libro de clase la teoría por su cuenta para resolver las dudas del proyecto. El profesor también orientará en el trabajo.

Al acabar el proyecto cada grupo hará una presentación a la clase del trabajo realizado.

+ Descargar plantilla de trabajo FASE I

+Descargar plantilla de trabajo FASE II

+ Descargar plantilla FASE III

Objetivos:

  • Conocer el teorema de Pitágoras
  • Conocer la teoría de la altura sobre la hipotenusa
  • Conocer la teoría de los triángulos semejantes
  • Mediciones de longitud

Materiales:

  • Regla
  • Plantilla
  • Cuaderno
  • Calculadora
  • Ordenador
  • Software Geogebra

+ Vídeo demostrativo para la construcción con GEOGEBRA

telón telón2

1ª FASE

  1. Recorta el triángulo rectángulo y pégalo en otra hoja usando como base la hipotenusa.
  2. Traza la altura con una línea gruesa de rotulador
  3. Recorta los dos triángulos que se han formado
  4. Comprueba si los dos triángulos son semejantes superponiéndolos para comprobar que tienen los mismos ángulos. Pégalos en el cuaderno de forma que coincidan en el ángulo más agudo.
  5. Para saber que los triángulos son semejante comprueba midiendo que a/a´= b/b´= c/c´

Ten en cuenta que los tres triángulos son 1, a,b,c    2. m,H,a   3, H,n,b

  1. Comprueba con Pitágoras que en los dos triángulos se cumple a2 + b2 = c2
  2. Usando las equivalencias de los triángulos semejantes ( a/a´= b/b´= c/c´) y el álgebra intenta demostrar que el cuadrado de la altura del triángulo grande H es igual a la multiplicación de los dos catetos. Compruébalo también midiéndolos.

H2 = m · n

  1. ¿Se puede saber cuánto miden a, c, m y n si te dan a y H= 2,4 cm y te dicen que es un triángulo rectángulo cuyo cateto mayor b=4? (Solución m= 3,2cm y n= 1,8cm a=3 c=5)
  2. ¿Y si te dan m=3,2cm y n=1,8cm? Calcula a y b (Solución a=3 y b=4)
  3. Más difícil todavía calcula H sabiendo sólo a=3 cm y b= 4cm

*(Pista debemos empezar calculando c con Pitágoras de  esa manera sabremos que n = c-m y podremos crear dos ecuaciones para dejar sola la H e igualarlas) Solución H=2,4

  1. Vamos a comprobar todo de nuevo usando geogebra.

 

*Se pueden proponer otras medidas en el triángulo para ver si son capaces de deducir los datos de nuevo. Por ejemplo un triángulo de catetos 12 y 5

2ª FASE Cálculo del área y volumen del tronco de cono y del tronco de pirámide.

  1. Calcular la altura de la cabeza del cono sabiendo que:
  • la altura del tronco es h= 3 cm
  • el radio de la base mayor es R= 3 cm
  • el radio de la base superior menor r= 0,75 cm,
  1. Usamos la teoría de los triángulos semejantes a / b = a`/ b´
  2. Calculamos el volumen del cono pequeño ya que sabemos la altura del cono pequeño y su radio.
  3. Calculamos también el volumen del cono grande ya que ahora podemos saber su altura fácilmente.
  4. Restamos los dos volúmenes y ya tenemos el volumen del tronco. Comprueba que te da 37,09 cm3
  5. Mediante Pitágoras calculamos las generatrices del cono grande y del pequeño y calculamos el área lateral del tronco de cono. Comprueba que te da 44,16 cm2
  6. Haz lo mismo y calcula el volumen y el área lateral de un tronco de cono cuya base mayor tiene 6 cm de radio la menor 2 cm de radio y la altura del tronco es de 5 cm.

3ª FASE Cálculo de alturas de edificios.

  1. Usamos la teoría de los triángulos semejantes a / b = a`/ b´
  2. Sacamos con un móvil fotos para la presentación de los pasos que vamos dando
  3. Apoyamos sobre una mesa u otra superficie plana un lápiz o un palo que hayamos medido previamente. Esa medida será la medida de uno del cateto mayor del triángulo más pequeño.
  4. Nos ponemos en posición visual para que coincidan la punta del lápiz o palo con la altura del edificio para que el ángulo de visión sea el mismo y tengamos dos triángulos semejantes.

Fuente de las imágenes que componen la figura PIXABAY

  1. Medimos la distancia de nuestro ojo a la base del  palo o lápiz. Esa medida será el cateto menor del triángulo más pequeño
  2. Medimos la distancia de nuestro ojo desde el suelo hasta la base del edificio. esa medida será el cateto menor del triángulo grande.
  3. Usamos la teoría de triángulos semejantes para calcular la altura del edificio. A esa altura hay que añadirle la altura de la mesa o la superficie plana que hemos usado. Esa altura es el cateto menor del triángulo grande.

Puesta en común del proyecto en el grupo grande.

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